从头再来的整理，自我感觉总结得还是比较全面的

线性代数备忘

向量代数与空间几何初步

向量代数

向量及其表示

• 矢量、标量

  • 向量的表示
  • 向量相等：模、方向
  • 单位向量、自由向量
  • 向量的平行、共线、共面

• 向量的运算

  • 加法
    • 三角形法则
      • 向量不等式：$|a\pm b|\leq|a|+|b|$
      • 交换律，结合律
  • 数乘
    • 分配律、结合律
    • 共线定理：$a$，$b$ 共线等价于 $a =kb$
      • 线性相关（共线）、线性无关（不共线）

• 正交标架与向量坐标

  • 右手规则

• 卦限：在 $z$ 轴下方的是在 $z$ 轴上方卦限 +4

  • 向径：$\vec{ow}$

    • 向径公式：坐标分解式 $\vec r=x\vec i+y\vec j+z\vec k$
    • 投影向量：$x\vec{i}$ 、 $y\vec{j}$ 、$z\vec{k}$
    • 向量坐标：$(x,y,z)$
      • 共线：相应坐标成比例
    • 点分公式：$\vec{AM}=\lambda \vec{MB}$，$M$ 在 $\vec {AB}$ 上，则 $\vec{OM}=\frac{\vec{OA}+\lambda\vec{OB}}{1+\lambda}$

  • 模与方向角

    • 方向余弦：$(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\left(\frac{x}{|a|}, \frac{y}{|a|}, \frac{z}{|a|}\right)=\frac{a}{|a|}=a^{0}$
      • 余弦公式：$\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1$

  • 向量在轴上的投影

    • 投影向量
    • 投影（数）：$\operatorname{Prj}_{u} \boldsymbol{a}=\lambda,$ 或记 $(\boldsymbol{a})_{u}=\lambda$
    • 向量的投影具有下列性质:（设 $\varphi$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $u$ 轴的夹角 )

      1. $(\boldsymbol{a})_{u}=|\boldsymbol{a} | \cos \varphi \quad\left(\right.$ 即 $\left.\operatorname{Prj}_{u} \boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}| \cos \varphi\right)$

      2. $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})_{u}=(\boldsymbol{a})_{u}+(\boldsymbol{b})_{u}$

      3. $(\lambda \boldsymbol{a})_{u}=\lambda(\boldsymbol{a})_{u}$

• 向量内积：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta$

  • 当 $b \neq 0$ 时， $\boldsymbol a$ 在 $\boldsymbol b$ 上的投影为 $(\boldsymbol{a})_{\boldsymbol{b}}=|\boldsymbol{a}| \cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$

• 垂直条件：$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$

  • 正交分解：设 $\boldsymbol{v} \neq \overrightarrow{0},$ 任一向量 $\boldsymbol{a}$ 有正交分解 $\boldsymbol{a}=k \boldsymbol{v}+\boldsymbol{a}^{\prime}, \quad \boldsymbol{a}^{\prime} \perp \boldsymbol{v}$
  • $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}={|\boldsymbol{a}|}^{2}$ ；${|\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}|}^{2}={|\boldsymbol{a}|}^{2}+{|\boldsymbol{b}|}^{2} \pm 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$
  • 坐标运算：$\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$
    • 垂直、求余弦角

• 向量外积

  • 方向：右手定则

  • 模：$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}| \sin \theta, \quad \theta=\angle(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 为 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角

    • 等于以 $\boldsymbol a$, $\boldsymbol b$ 为邻边的平行四边形面积

  • 反交换性：$\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$

  • 叉乘的坐标公式：$\boldsymbol a\times \boldsymbol b=(\begin{vmatrix} a_2&a_3 \\ b_2&b_3 \end{vmatrix},-\begin{vmatrix} a_1&a_3 \\ b_1&b_3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_1 & a_2\\ b_1 &b_2 \end{vmatrix})$

• 混合积：$(\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c)=(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\cdot \boldsymbol c=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3 \\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}$

  • 其绝对值等于以 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 为棱的平行六面体

  • $\{\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\}$ 组成右手系时为正，反之为负

  • $(\boldsymbol a,\boldsymbol b, \boldsymbol c)=(\boldsymbol b, \boldsymbol c,\boldsymbol a)=(\boldsymbol c,\boldsymbol a, \boldsymbol b)$

  • 双重外积公式：

    $(\boldsymbol a \times \boldsymbol b)\times \boldsymbol c =(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b -(\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c )\boldsymbol a$

    $\boldsymbol a \times(\boldsymbol b \times \boldsymbol c)=(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c)\boldsymbol b - (\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b )\boldsymbol c$

空间平面与直线

平面及其方程

平面的点法式方程

• 设 $P(x, y, z)$ 是平面 $\pi$ 上任一点。那么向量 $\vec{P}_{0} \vec{P}$ 与法向量 $n$ 必垂直 $\left(n \perp \overline{P_{0} P}\right),$ 于是它们的内积等于零:

$n \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=0$

​ 由于 $n=(A, B, C), \quad \overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), \quad$ 则有

$A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0$

​ 这就是平面 $\pi$ 上任一点 $P$ 的坐标 $(x, y, z)$ 所满足的方程。

平面的一般方程

• $Ax+By+Cz+D=0$

  • $(A,B,C)$ 是平面法向量，利用这一点可以判断平面方程特性

• 特殊的

  • 截距式方程：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$，$a,b,c$ 叫做平面在 $x, y, z$ 轴上的截距
  • 三点式方程：$\left|\begin{array}{ccc}x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1}\end{array}\right|=0$

两平面的夹角

• 设平面 $\Pi_{1}$ 和 $\Pi_{2}$ 的法线向量依次为 $n_{1}=\left(A_{1}, B_{1}, C_{1}\right)$ 和 $n_{2}=\left(A_{2}, B_{2}, C_{2}\right),$ 那么两平面的夹角 $\theta$ 公式为

  $\cos \theta=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$

• 点到平面的距离：$d=\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

空间直线方程

空间直线的一般方程

• $\left\{\begin{array}{l}A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0\end{array}\right.$
• 可以看成是两个平面的交线

直线的对称方程与参数方程

• 平行向量：如果一个非零向量 s 平行于一条已知直线 L ，这个向量就叫做这直线的方向
  向量

  • s 的坐标叫做该直线的一组方向数，s 的方向余弦叫做这直线的方向余弦

• 对称式方程/点向式方程：$\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$，其中参数出自直线 $L$ 上一点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一方向向量 $s=(m,n,p)$

• 参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \\ z=z_{0}+p t\end{array}\right.$

两直线的夹角

• 设直线的方向向量为 $s_1=(m_1,n_1,p_1)$ 和 $s_2=(m_2,n_2,p_2)$ ，那么两直线的夹角公式为：

$\cos \varphi=\frac{\left|m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}\right|}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}} \sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}$

• 直线与平面的夹角

• 设直线的方向为 $s = (m,n, p)$，平面的法线向量为 $n = (A,B,C)$，那么两直线的夹角公式为**（注意是 sin）**

$\sin \varphi=\frac{|A m+B n+C p|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}$

两直线的公垂线方程求法

• 由两直线 $L_1$,$L_2$ 的方向向量叉乘可得公垂线的方向向量
• 由公垂线的方向向量和 $L_1$ 的方向向量以及 $L_1$ 上一点可得过公垂线和 $L_1$ 的平面方程 $S_1$;由公垂线的方向向量和 $L_2$ 的方向向量以及 $L_2$ 上一点可得过公垂线和 $L_2$ 的平面方程 $S_2$
• $S_1$ 和 $S_2$ 组成的方程组即是公垂线方程

平面束方程

• 设直线 $L$ 由方程组

$\left\{\begin{array}{l} A x+B y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right.$

确定，其中系数 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 与 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 不成比例. 我们建立三元一次方程
$A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}+\lambda\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0$
这就是通过直线 $L$ 的平面束的方程，但是不能表示 $A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0$ 这个平面

曲面

• 曲面方程：曲面上的点坐标都满足方程，不在曲面上的点坐标都不满足方程

旋转曲面

• 旋转曲面：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面

  • 母线：旋转曲线
  • 轴：定直线

• 设在 $y O z$ 坐标面上有一已知曲线 $C$ ，它的方程为:$f(y, z)=0$
  把这曲线绕 $z$ 轴旋转一周，就得到一个以 $z$ 轴为轴的旋转曲面 ，它的方程可以求得如下:

  1. 设 $M_{1}\left(0, y_{1}, z_{1}\right)$ 为曲线 $C$ 上的任一点则 $f\left(y_{1}, z_{1}\right)=0$
  2. 当曲线 $C$ 绕 $z$ 轴旋转时, 点 $M_{1}$ 绕 $z$ 轴转到另一点 $M(x, y, z),$ 这时 $z=z_{1}$ 保持不交,且点 $M$ 到 $z$ 轴的距离为 $d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left|y_{1}\right|$。
  3. 将 $z_{1}=z, \quad y_{1}=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 代入 (3) 式, 有 $f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0$
     这就是旋转曲面的方程。

• 圆锥面：直线 $L$ 绕另一条与 $L$ 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面

  • 顶点：两直线的交点
  • 半顶角：两直线的夹角 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$

• 旋转单叶双曲面：双曲线绕 $z$ 轴旋转

• 旋转双叶双曲面：双曲线绕 $x$ 轴旋转

柱面

• 柱面：平行于定直线 $l_0$ 并沿定曲线 $C$ 移动的直线 $L$ 形成的轨迹
  • 准线：曲线 $C$
  • 母线：动直线 $l_0$
  • 一般地，只含 $x,y$ 而缺 $z$ 的方程 $F ( x, y)= 0$ 在空间直角坐标系中表示母线平行于 $z$ 轴的柱面，其准线是 $xOy$ 面上的曲线 $C:F(x, y)=0$

二次曲面

• 二次曲面：$F(x, y,z)=0$ 所表示的曲面

• 基本研究方法：截痕法

• 基本类型

  1. 椭球面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)$

  2. 抛物面

     • (1) 椭圆拋物面：$\frac{x^{2}}{2 p}+\frac{y^{2}}{2 q}=z \quad(p, q>0)$

       (2) 双曲抛物面 ( 鞍形曲面 )：$-\frac{x^{2}}{2 p}+\frac{y^{2}}{2 q}=z\quad(p, q>0)$

  3. 双曲面

     • 单叶双曲面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)$
     • 双叶双曲面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 \quad(a, b, c>0)$

  4. 椭圆锥面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^2 \quad(a, b>0)$

曲线

空间曲线的一般方程

• 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 $\left\{\begin {array} {l}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{array}\right.$

空间曲线的参数方程

• 将曲线 $C$ 上的动点坐标 $x, y, z$ 表示成参数 $t$ 的函数：$\left\{\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{array}\right.$
  称它为空间曲线的参数方程.

空间曲线在坐标面上的投影

• 以曲线 $C$ 为准线、母线平行于 $z$ 轴(即垂直于 $xOy$ 面)的柱面叫做曲线 $C$ 关于 $xOy$ 面的投影柱面；投影柱面与 $xOy$ 面的交线叫做空间曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线, 简称投影

• 方法：

$\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.$

​ 消去变量 $z$ 后所得的方程

$H(x, y)=0$

​ 则在 $xOy$ 面上的投影是： $\left\{\begin {array} {l}H(x,y)=0\\z=0 \end{array}\right.$

线性方程组的解法

• 行向量、列向量

  • 内积
    • 正交

• 矩阵的引入

  • 线性方程组

    • 矩阵：系数
    • 增广矩阵：系数+常数项

  • 矩阵：$A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij})$

    • 元：$a_{ij}$

      • 元为实（复）数——实（复）矩阵

    • 主对角线、副对角线

    • 特殊矩阵

      • 方阵：$m=n$

      • 行矩阵、列矩阵

      • 对角矩阵：仅主对角线元不为 0，记作 $diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$

      • 零矩阵

      • 单位矩阵

      • 同型矩阵：两矩阵行列数相等

        • 相等=同型矩阵+所有元相等

• 矩阵解线性方程组

  • LS 公式：将 $AX$ 变换为矩阵之积

• 矩阵的行变换

  1. 互换两行 $r_i\leftrightarrow r_j$
  2. 以 $k\neq0$ 乘以某一行所有元素 $r_i*k$
  3. 把某一个行的 $k$ 倍加到另一行上 $r_i+kr_j$

• 等价 $\sim$：反身性、对称性、传递性

  • 有限初等行变换所得矩阵等价

• LS 消元法

  1. 由线性方程组得到增广矩阵
  2. 增广矩阵经过初等行变换变成最简阶梯形矩阵
  3. 最简阶梯形矩阵可变换为标准形，从而得到解或通解（解空间）

方程有解问题

• 通过 LS 消元法可以获得最简阶梯形矩阵，假设未知数个数为 $n$，方程个数为 $m$，最后 $m-r$ 行为 0，即总共 $r$ 行不为 0，剩下的方程个数为 $s(s\geq r)$;

  • $s>r$：有矛盾方程，无解
  • $s=r$：有解
    • $r=n$，具有唯一解
    • $r<n$，有 $r$ 个非独立未知元，$n-r$ 个独立未知元（自由参数）
      • 解的表示：将非独立未知元用独立未知元表示

• 齐次定理：若未知元个数 $n$ 大于方程个数 $m$, 则齐次组 $AX=0$ 有非零解（有无穷多）。即， 若 $n > m$, 则 $AX=0$ 必有非零解。

数域

• 数域：$P$ 是复数集，且对加减乘除封闭

  • 有理数域是最小的数域，被所有数域包含

• 数环：$P$ 是复数集，且对加减乘封闭

• 更多抽代的内容可以在这里找到：近世代数备忘

向量空间

• 矩阵的加法：对应元相加
• 矩阵的数乘：每一元都乘以系数
• 矩阵的转置：$a_{ij} \leftrightarrow a_{ji}$

线性相关与线性无关

• 线性相关：对 $F^n$ 中 $k$ 个向量 $a_1,\dots,a_k\in F^n$，如果存在不全为 0 的数 $x_1,\dots,x_k$ 满足条件 $x_1a_1+\dots+x_ka_k=0$，就称 $\left\{a_1,\dots,a_k\right\}$ 线性相关。
• 如果不是线性相关，就是线性不相关
• 线性相关等价于：其中某个向量可以表示为其余向量的线性组合
• 单边法则：设 $a_1,\dots,a_k(a_1\neq0)$
  • 如果每个 $a_j$ 都不被它前面的向量线性组合表示，那么 $\left\{a_1,\dots,a_k\right\}$ 线性无关
  • $\left\{a_1,\dots,a_k\right\}$ 线性相关，则必存在 $j\leq n$ 使 $a_j$ 能够被之前的向量线性组合表示
• 多一法则：若 $\left\{a_1,\dots,a_n\right\}$ 线性无关，$\left \{ a_1,\dots,a_n,b\right\}$ 线性相关，则 $b$ 可以用 $a_1\dots,a_n$ 表示
• 长短法则：长相关则短相关；短无关则长无关
  • 这里的长短是各个向量维数的扩充
• 大数法则：若 $p$ 个向量 $\left\{a_1,\dots,a_p\right\}$ 可由 $t$ 个向量 $\left\{b_1,\dots,b_t\right\}$ 表示，且 $p > t$ , 则 $\left\{a_1,\dots,a_p\right\}$ 必线性相关

通过解方程组判断线性相关

• 向量 $a_1,\dots,a_n$ 线性相关的充分必要条件是，方程 $x_1a_1+\cdots+x_na_n=0$ 有非零解
• 向量 $a_1,\dots,a_n$ 线性无关的充分必要条件是，方程 $x_1a_1+\cdots+x_na_n=0$ 有唯一解 $(0,\dots,0)$

基

• 基：如果 $T$ 是 $F^n$ 的一个向量组 $\left\{a_1,a_2,\dots,a_n\right\}$，能够通过唯一线性组合 $\sum x_ia_i=b$ 表示 $F^N$ 中的任何一个向量，就称 $T$ 是 $F_n$ 的一组基
  • 基是对于空间而言的
  • 坐标：线性组合系数 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$
  • 自然基：$\left\{e_1,e_2,\dots,e_n\right\}$
  • 判定定理：$F^n$ 中的向量组 $S$ 是基 $\iff$ 中有 $n$ 个线性无关向量

判定线性方程组唯一解

• 方程 $AX=b$ 有唯一解 $\iff$ 方程 $AX=0$ 有唯一解
  • 此时 $A$ 的列向量组构成一组基

基变换与坐标变化变换

• 基变换公式：设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基，若它们之间的关系可表示为

  $\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) C$

  其中 $\boldsymbol{C}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}$， 则称矩阵 $\boldsymbol{C}$ 为从基 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ 的过渡矩阵。此式为基变换公式。

• 坐标变换公式：设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基，由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 到 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ 的过渡矩阵为 $C$，若 $V$ 中的任意元素在这两组基下的坐标为 $(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$ 和 $(y_1,y_2,\dots,y_n)^T$ ，则

  $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)^T=C\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)^T$

  • 1 号基到 2 号基的过渡矩阵就是 2 号基到 1 号基的坐标阵（重在理解，不要死记硬背）

极大线性无关组

• 设向量组 $S$ 中 $P$ 个向量 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p}\right\}$ 满足条件：

  1. $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right\}$ 线性无关
  2. $\forall \boldsymbol{\beta}\in S, \left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p},\boldsymbol{\beta}\right\}$ 线性相关

  则称 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{p}\right\}$ 是 $S$ 中的一个极大无关组

  • $p$ 叫做 $S$ 的秩 Rank
  • 极大线性无关组是对于向量组而言的

• 性质

  1. 大组 $S$ 中的任一向量都可以由极大组唯一表示（多 1 法则）
  2. 两个极大无关组可以相互表示
  3. 任意两个极大组含有相同的向量个数
  4. $A$ 中向量可以被 $B$ 中向量表示，则 $rank A\leq rankB$

• 同解定理：对方程组 $AX=b$ 经过行变换得到 $BX=d$，则两者同解，而且 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ 中极大组的位置是一一对应的

  • 行变不改变相关性和无关性

• 向量组秩/极大线性无关组的求法：初等行变换

• $n$ 维空间 $V$ 中的任意线性无关子集 $S$ 可以扩充为 $V$ 的基：设 $B$ 是 $V$ 的一组基，求出 $S\cup B$ 的极大线性无关组即可

子空间

• 设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间，$V$ 的非空子集 $W$ 如果满足 $W$ 对加法和数乘封闭，就称 $W$ 是 $F^n$ 的子空间

  • 子空间的线性无关向量的最大个数是 $W$ 的维数，记作 $\dim W$

• 子集生成的子空间：由数域 $F$ 上向量空间 $V$ 的子集 $S$ 的全体线性组合产生的子空间，记为 $L(S)$

  • $\dim L(S) =rank S$

• 解空间：齐次线性方程组 $AX=0$ 的解集

  • $\dim V_A=n-rankA$，即通解中可以自由取值的未知数个数
  • 解空间的一组基称为这个方程的一个基础解系

• 非齐次线性方程组 $AX=b$ 有解：$rankA=rank(A,b)$

  • 此时的解为：$AX=b$ 的一个解 $X_1$ 和 $AX=0$ 的解空间

子空间的交与和

• 子空间的交：对于方程组的解空间而言，可以理解为方程组联立再求解空间

  • 子空间的交仍然是子空间

• 子空间的和：$W_1+W_2=\left\{w_1,+w_2|w_1\in W_1,w_2\in W_2\right\}$

  • 可以理解为求 $W_1$ 和 $W_2$ 的基的集合的基
  • $\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)$

• 下列命题等价：

  1. $W_1\cap W_2=\left\{0\right\}$
  2. $\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2$
  3. 每个 $w=w_1+w_2$ 由 $w$ 唯一确定
  4. $w_1+w_2=0$ 等价于 $w_1=w_2=0$
     满足命题的 $W_1+W_2$ 称为直和，记作 $W_1\oplus W_2$

行列式

• $det(A)=|A|=\left|\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$
  $=\sum(-1)^{t\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\right)} a_{p_{1} 1} a_{p_{2} 2} \cdots a_{p_{n} n}$
• 三角公式：$\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}$
• 行列式的性质
  • $|A^T|=|A|$
  • 如果用同一个数 k 乘行列式中一行/列的各元素，等于用 k 乘这个 行列式
  • 如果行列式中一行/列的所有元素全为 0，则行列式为 0
  • 如果两行（列）互换，那么行列式变号
  • 分项公式
  • 倍加公式：行列式值不变
• Vandermonde 行列式

矩阵的代数运算

矩阵运算的定义与运算律

矩阵运算的定义

• 线性运算

  • 加法：行数、列数相等
  • 数乘：每个元都需要乘常数

• 乘法 $AB$：$A$ 的列数和 $B$ 的行数相等

  • 第 $(i,j)$ 元等于 $A$ 的第 $i$ 行与 B 的第 $j$ 列之积
  • 不满足交换律、消去律

• 零矩阵 $O$：所有元素都为 0，相当于 0

• 分块矩阵：把矩阵中的元素划分为一个个块，把块当成矩阵的元素

  • 分块矩阵的初等变换
    • 行变换时，左乘系数矩阵；列变换时，右乘系数矩阵

• 迹：一个n×n矩阵A的主对角线上各个元素的总和，记作 $tr(A)$l

乘法矩阵运算律

• 单位矩阵 $I$：相当于 1
• 对加法的分配律，对数乘的结合律
• 乘法结合律
  • 错位结合

转置和共轭

• 转置：$A^T$ 的第 $(i,j)$ 元 相当于 $A$ 的第 $(j,i)$ 元

  • 性质：
    • $(A^T)^T=A$
    • $(A+B)^T=A^T+A^T$
    • $(AB)^T=B^TA^T$
  • 对称：
    • 对称方阵：$A^T=A$
    • 反对称方阵：$A^T=-A$

• 共轭 $\bar A$：矩阵的每个元换成它的共轭复数

• $A^H$（另一种表达是 $A^*$，但是和伴随矩阵不一样）：${\bar A}^T$

  • $A^H=A$：埃尔米特方阵
  • $A^H=-A$：斜埃尔米特方阵

逆矩阵

• 矩阵的逆 $A^{-1}$：$A^{-1}A=AA^{-1}=I$
  • 判定：$A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A|\neq 0$
  • 性质
    • ${A^{-1}}^{-1}=A$
    • $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
    • $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
  • 算法
    • 求矩阵 $AX=B$ 的解
      • 求矩阵 $XA=B$ 的解时，可以先两边转置
    • 求逆公式：$A^{-1}=|A|^{-1}A^*$

余子式与代数余子式

• 余子式：把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的阶行列式叫做元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$

• 代数余子式：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

• 展开公式：行列式等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和 $D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in} (i = 1,2,\dots,n)$

  • 错位公式：$0=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\dots+a_{in}A_{jn} (i = 1,2,\dots,n)$

• 伴随矩阵 $A^*$：第 $(i,j)$ 元是 $A_{ij}$

  • $A^*A=|A|I$

线性映射

• 分解公式：$\boldsymbol{\alpha}=a_1\varepsilon_1+\dots+a_n\varepsilon_n$，其中 $\varepsilon_i$ 是基
• 线性映射：$W$ 为一个空间，且 $\varphi:W\rightarrow R^{n}$ 为一个映射，若：
  1. $\varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)$
  2. $\varphi(k \alpha)=k \varphi(\alpha)$
     称 $\varphi$ 为 $W$ 到 $R^{n}$ 的一个线性映射
• 线性映射的性质
  1. $\varphi(0)=0$
  2. 若像无关，则原像也无关；若原像相关，则像相关

矩阵的相合与相似

多项式分解定理

• 一元多项式主要结论 分解定理: 任一个 $n$ 次多项式 $f(x)$

  $f(x)=x^{\mathrm{n}}+c_{n-1} x^{\mathrm{n}-1}+\cdots+c_{1} x+c_{0}$

  在复数域必有分解式：$f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)\left(x-\lambda_{2}\right) \cdots\left(x-\lambda_{n}\right)$
  数 $\lambda_{1}, \lambda_{2} \cdots, \lambda_{n}$ 叫 $f(x)$ 的 $n$ 个根(含重复根)

  • 对比系数，可得韦达定理：

    $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=-c_{n-1}$
    $\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=(-1)^{n} c_{0}$

特征值与特征向量

• 定义: $A$ 是 $n$ 阶方阵，若有数 $\lambda_{1}$ 和**非 0 **向量 $X$ 使 $AX=\lambda_{1}X$，称 $\lambda_{1}$ 为 $A$ 的特征值。 $X$ 称为 $A$ 的属于特征值 $\lambda_{1}$ 的特征向量

  • $A$ 的特征值 $\lambda_{1}$ 就是齐次方程组 $\left(A-\lambda_{1} I\right) X=0$ 有非 0 解的 $\lambda_{1}$ 值，即 $|A-\lambda I|=0$ 的解
  • $|\lambda I-A|$ 叫 $A$ 的特征式；
    $|\lambda I-A|=0$ 叫 $A$ 的特征方程;
    $|\lambda I-A|=0$ 的根叫 $A$ 的特征值（特征根）
  • 特征向量线性无关

• $n$ 阶阵 $A$ 的特征根与特向量求法：

  1. 解特征方程 $|A-\lambda I|=\mathbf{0},$ 求出 $n$ 个特征值 (含重根) ;
  2. 对每一根 $\lambda_{k},$ 求 $\left(A-\lambda_{k} I\right) \mathrm{X}=0$ 的非 0 解 $X$ 是 $\lambda_{k} k_{k}$ 的特征向量
  • 特征向量数不超过其特征根的重复数

• 特征根的性质

  • 设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则
    1. $\lambda$ 是 $A^T$ 的特征值
    2. $\lambda^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值
    3. $f(\lambda)=a_0+a_1\lambda+\dots+a_m\lambda^m$ 是 $f(A)=a_0+a_1A+\dots+a_mA^m$ 的特征值

• 迹：$\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}$

  • 由韦达定理可得
    1. $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}=\operatorname{tr}(A)$
    2. $\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=|A|$
       • $A$ 可逆，则 $A$ 的特征值都不为 0

• 相似：定义 设 $A 、 B$ 为 $n$ 阶方阵，如果存在可逆阵 $P$, 使得

  $P^{-1} A P=B$

  则称 $A$ 与 $B$ 相似, 记为 $A \sim B$

  • 矩阵的相似是等价关系

  • 相似矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值

    • 但是：有相同特征多项式的矩阵不一定相似

• 相似对角化

  1. 属于不同特征根的特征向量线性无关
  2. 同一特征根的特征向量的非 0 线性组合仍是该特征根的特征向量
  3. 如果 $A\sim B$，则 $A$ 和 $B$ 的特征式相同
  4. $A$ 可对角化的充分必要条件是**$A$ 有 n 个无关特征向量**
  5. $A$ 有 n 个互异的特征根, 则 $A$ 与对角阵相似
  6. 一个矩阵 $A$ 相似于对角阵的充要条件是 $A$ 的任一特征根的次数与几何重数相等
  7. 求 $P^{-1}AP=B$，其中 $B$ 是对角阵，那么 $P=\left\{\xi_1,\dots,\xi_n\right\}$，$\xi_i$ 是特征向量

内积

• 内积：设实的列向量 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}$,$\beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$。令 $(\alpha, \beta)=\alpha \cdot \beta = a_{1}b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}$。
  $(\alpha, \beta)$ 叫做 $\alpha, \beta$ 的内积或点积

  • 分配律:$(\alpha+\beta)\cdot \vec{c}=\alpha \cdot \vec{c}+\beta \cdot \vec{c}$
  • 若 $(\alpha,\beta)=0$，称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交，记作 $\alpha \perp \beta$

• 正交向量组：定义 设 $\alpha_{1}, a_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 是一组非 0 向量。若其中任两个向量都是正交的，则称其为一个正交向量组或正交组

  • 标准正交组：若正交向量组中每个向量都是单位向量, 则称其为标准正交组

• 欧氏空间：定义了内积的实向量空间

  • $(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta$

度量矩阵

• 度量矩阵：设 $V$ 一个 n 维欧几里得空间，在 $V$ 中取一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n},$ 对 $V$ 中任意两个向量 $\alpha=x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+x_{n} \varepsilon_{n}$ 和 $\beta=y_{1} \varepsilon_{1}+y_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+y_{n} \varepsilon_{n}$ 。 由内积的性质得 $(\alpha, \beta)=\left(x_{1} \varepsilon_{1}+x_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+x_{n} \varepsilon_{n}, y_{1} \varepsilon_{1}+y_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+y_{n} \varepsilon_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right) x_{i} y_{j} .$
  令 $a_{i j}=\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)(i, j=1,2, \ldots, n),$ 显然 $a_{i j}=a_{j i}$。于是 $(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j} .$
  $X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) Y=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right)$ 分别是 $\alpha, \beta$ 的坐标，而矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{n n }$ 称为基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{n}$ 的度量矩阵（格拉母阵），因而度量矩阵完全确定了内积，即 $(\alpha, \beta)=X^{T} A Y$
  • 因为 $(\alpha,\alpha)>0$，所以度量矩阵 $A$ 是正定矩阵
  • 不同基底下的度量矩阵是合同的
• 最简单的度量矩阵：标准正交基
• 许米特正交化方法：将一组基标准正交化
  • $\beta_{m}=\alpha_{m}-\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{1}\right\rangle}{\left\langle\beta_{1}, \beta_{1}\right\rangle} \beta_{1}-\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{2}\right\rangle}{\left\langle\beta_{2}, \beta_{2}\right\rangle} \beta_{2}-\cdots--\frac{\left\langle\alpha_{m}, \beta_{m-1}\right\rangle}{\left\langle\beta_{m-1}, \beta_{m-1}\right\rangle} \beta_{m-1}$
• 用正交阵把实对称阵 $A$ 相似对角化方法如下：
  1. 写出A的特征多项式 $|\lambda I-A|,$ 并 求出所有特征根 (均为实数) ;
  2. 对每个特征根，求出其全部无关特征向量;
  3. 对属于同一个特征值 $\lambda$ 的线性无关特征向量，用正交化方法化为标准正交组
  4. 用所得到的标准正交特征向幅作为列组成矩阵 $Q$, 则 $Q^{-1} A Q=Q^{\mathrm{T}} A Q$ 是对角形, 且对角元为 $A$ 的全部特征值.

二次型

• 二次型：设 $f$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 元二次多项式：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+2 a_{13} x_{1} x_{3}+\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n}+a_{22} x_{2}^{2}+2 a_{23} x_{2} x_{3}+\cdots+2 a_{2 n} x_{2} x_{n}+\cdots+a_{n n} x_{n}^{2}$
  $f$ 称为数域 $K$ 上的 $n$ 元二次型，简称二次型
  • 当 $a_{i j}$ 是复数时, 称为复二次型；当 $a_{i j}$ 是实数时, 称为实二次型
  • 表示方法
    1. 函数式
    2. 矩阵：$X^TAX$，其中 $A$ 是对称矩阵
       • $A$ 叫做二次型 $f$ 的矩阵；$f$ 叫做对称矩阵 $A$ 的二次型；对称矩阵 $A$ 的秩叫做二次型 $f$ 的秩
       • $K$ 上的二次型 $f$ 和对称矩阵 $A$ 一一对应
• 化二次型为标准形：使二次型 $f$ 经可逆变换 $x = Cy$ 变成标准形，即让 $C^TAC$ 变成对角矩阵
• 合同：设 $A$,$B$ 为 n 阶方阵，若有可逆阵 $C$，使 $B=C^{T} A C$，则称 $A$ 与 $B$ 合同
  • 合同关系是一种等价关系
• 化二次型为平方项等价于对对称阵 $A$ 寻找可逆阵 $C$，使 $C^TAC$ 为对角阵，即寻找合同关系下的标准形

正定二次型

• 规范形定理
  实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 经过可逆变换可化为 规范形:

  $f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{r}^{2}$

• 正定二次型：设实二次型 $f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 对 $R^{n}$ 中任何非0向量 $x$，必有 $f(x)>0$，则称它为正定二次型，称 $A$ 为正定阵，记为：$A>0$

• 负定二次型：若对 $R^{n}$ 中任何非0向量 $x$，有 $f(x)<0$，则称之为负定二次型，称 $A$ 为负定矩阵，记为： $\mathrm{A}<0$

  • 正定(负定)矩阵必为实对称阵
  • 对 $X \neq 0, \Rightarrow \exists$ 分量 $x_{i} \neq 0,$ 不是所有 $x_{i} \neq 0$

• 正定不变性

  • 可逆线性变换不改变二次型的正定性
  • 相合矩阵的正定性相同
  • 同阶正定阵的和仍为正定阵

• $A$ 为正定阵等价于 $A$ 的所有顺序主子式都大于 0

• 正惯性指数 $p$ 和负惯性指数 $q$ 判断正定

  • $p=n$ 正定
  • $q=n$ 负定
  • $p<n$ 且 $q=0$ 半正定
  • $q<n$ 且 $p=0$ 半负定
  • $p,q>0$ 不定